首先需要清楚的是，构成重婚的情形有两种：
1、配偶的双方或一方，婚姻关系尚未解除，又与他人办理结婚登记;
2、虽未办理结婚登记，但在事实上同他人以夫妻名义同居生活。
对违反一夫一妻制的行为，婚姻登记机关不予登记;有配偶者与婚外异性公然以夫妻名义共同生活的，则构成重婚;如果有配偶者与婚外异性对外不以夫妻名义相称，但人民法院根据实际情况，结合法官的自由裁量权，从双方共同生活的时间长短、稳定程度等综合考虑，有时也会依法认定其构成重婚。
对有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，按重婚罪论处。
如果对方有私生子，且情况属于上述两种情形之一的，则对方构成重婚罪。
夫妻关系中无过错方对有重婚婚行为的配偶在离婚时可以要求损害赔偿。
法律条文可参考《民法典》（自2021年1月1日起实施）第一千零九十一条，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：(一)重婚;(二)与他人同居;(三)实施家庭暴力;(四)虐待、遗弃家庭成员;(五)有其他重大过错。
有私生子的话还是建议尽快跟自己的另一半说清楚，因为对私生子的抚养这首先是自己根本就不能够推出的一个责任，抚养私生子是一个长久的过程，在这个过程当，自己的另一半不可能就不知道的，自己主动的说跟对方发现这是完全不同的两种后果。
相关法规
《中华人民共和国刑法》第二百五十八条 有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。
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